Sage图斜率场和微分方程

我试图绘制斜率场,并在鼠尾草笔记本几个独特的解决方案,但我的斜率场不匹配的解决方案。

我试图绘制斜率场,并在鼠尾草笔记本几个独特的解决方案,但我的斜率场不匹配的解决方案。

c = var('c')
y = (ln(x)+c)/x
show(y)
p1 = plot_slope_field( y, (x,0,5), (c,-5,5))
for i in range(-5,5):
    p1 = p1 + plot(y(c=i),x,0,5, ymin=-5, ymax=5)
p1

plotp1

我希望斜率场近似于附近函数的斜率,但它们似乎根本不匹配。

4

斜率不应包含积分常数。斜率场是微分方程y'=f(x,y)的向量场(1,f(x,y))。因此,您需要通过消除常数c来找到函数族的 ODE。

对于方程

y = (ln(x)+c)/x

常数c的隔离给出

c = xy - ln(x)

和导数方程 / 隐式 ODE

0 = xy' + y - 1/x

因此,坡度场应为坡度

y' = f(x,y) = -y/x + 1/(x*x)
x = var('x')
y = var('y')
c = var('c')
ysol = (ln(x)+c)/x
show(ysol)
p1 = plot_slope_field( -y/x+1/(x*x), (x,0,5), (y,-5,5))
for i in range(-5,5):
    p1 = p1 + plot(ysol(c=i),x,0,5, ymin=-5, ymax=5)
p1

slope field by sage server

1

我发现了我的错误,@ kcrisman 也指出了这一点,我忘了区分(线性化)斜率场的函数。

这修复它:

p1 = plot_slope_field( diff(y), (x,0,5), (c,-5,5))

我们得到:

proper_field

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